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一、机器人步态与轨迹规划原理
1、基础原理
A. 常用步态
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机器人足端只有两种状态：触地、腾空，触地状态称为支撑腿（stance leg），腾空状态称为摆动腿（swing leg），机器人在行走过程中，每个足端都会在这两种状态之间周期性切换。
定义一轮步态循环时间为步态周期 P，触地时长占步态周期 P的比例为触地系数 r，即：
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触地时长：$$rP$$
腾空时长：$$(1-r)P$$
$$r$$为触地系数，$$P$$为步态周期
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通过调整每条腿的触地系数，调整双腿触地状态。
B. 摆线轨迹
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关键公式：
圆与坐标轴x轴的接触点位置：
$$x_i = a\theta$$
其中 $$a$$为圆半径，$$\theta$$为旋转角度
摆线坐标方程：
$$x = a(\theta-sin\theta)\
y = a(1-cos\theta)$$
2、落脚点规划
机器人以速度$$v$$匀速运动，针对机器人的一条腿进行分析：
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① 表示该足端刚开始腾空，沿空中虚线轨迹运动，在 ② 时刻触地，③ 时刻足端处于机器人关节正下方，即足端位于中性落脚点，④ 时刻足端又开始腾空。④ 时刻腿的姿态与 ① 时刻完全相同。
② 到 ④ 状态相对中性落脚点（③）对称，② 、④ 状态之间的时间差为该腿触地时长，即：
$$T_{stance} = rP$$
由于机器人以速度 $$v_x$$匀速运动，即可知：
$$\Delta x = \frac{1}{2} v T_{stance}$$
$$\Delta x$$为 ② 到 ③ 之间的距离，同时可知 ③ 状态时大腿关节的坐标为：
$$x_f = x_b + v_x T_{swing} + \Delta x\
= x_b + v_x T_{swing} + \frac{1}{2} v T_{stance}$$
$$T_{swing}$$为腿腾空时长，$$T_{stance}$$为腿触地时长
由于$$v_x$$不可能是一个常数，因此计算得到的$$x_f$$会产生累计误差，因此需要对$$x_f$$进行实时优化，引入相位$$p$$
$$p = \frac{t-t_0}{t_1-t_0}$$
$$t$$为计算时刻，$$t_0$$为当前周期起始时刻，$$t_1$$为当前周期结束时刻
①状态时$$p_1=0$$，②状态时$$p_2 = 1$$
此时计算足端触地点：
$$x_f = x_p(p) + v_x(1-p)T_{swing} + \frac{1}{2}v_xT_{stance}$$
考虑y轴方向的方程，整体公式如下：
$$x_f = x_p(p) + v_x(1-p)T_{swing} + \frac{1}{2}v_xT_{stance} + k_x(v_x-v_{xd})\
y_f = y_p(p) + v_y(1-p)T_{swing} + \frac{1}{2}v_yT_{stance} + k_y(v_y-v_{yd})$$
3、摆动腿足端的轨迹规划
$$x_c = x_0 + \frac{x_1-x_0}{2\pi}(2\pi p-sin2\pi p)\
y_c = y_0 + \frac{y_1-y_0}{2\pi}(2\pi p-sin2\pi p)\
z_c = z_0 + \frac{h}{2}(1-cos2\pi p)$$
上述为宇树四足狗足端轨迹规划方程
青龙足端轨迹规划x轴、y轴轨迹与宇树四足狗方程一致，z轴轨迹为其他方案，
青龙z轴轨迹分为两段：上升段曲线、下降段曲线，上升段使用 Bezier曲线进行规划，下降段曲线使用差值方法进行规划。
二、加速进化机器人模型+青龙步态仿真效果
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三、人类步态分析
1、人类行走时，支撑摆动占比
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2、不同动作，地面反作用力
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3、质心位置
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PS：参考资料
《四足机器人控制算法——建模、控制与实践》王兴兴
视频精讲：步态周期基础理论
https://www.bilibili.com/video/BV1z5411H7d9/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click
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